几何证明

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正文

第一篇：几何证明

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在

其他直线上截得的线段_________.

推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.

推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.

2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.

3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于

_________________；

相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.

5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.

圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.

推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.

o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90的圆周角所对的弦是________.

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.

6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________.

7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.

推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.

8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.

割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等.

切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项.

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；

圆心和这点的连线平分_____的夹角.

第二篇：浅谈几何证明

西华师范大学文献信息检索课综合实习报告

检索课题（中英文）：浅谈几何证明 on the geometric proof

一、课题分析

几何是研究空间结构及性质的一门学学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。几何分为平面几何与立体几何、微分几何、内蕴几何、拓扑学。几何证明则是根据一些特定规则和标准，有公理和定理推到出几何命题的过程。我们则重点研究最为简单的平面几何和立体几何的简单证明。

几何证明的基本步骤分为：1.分析—分析图形的切入点及所求。2.证明—做出辅助线，综合运用定理，找出已知未知的联系或推翻命题的假设。3.整理—规范作答。对于任给我们一个简单的几何证明我们都可以应用这个三个步骤，但是每个题都有它的重难点，对于不同内型的几何证明题我们必须从不同的角度、不同的切入点、不同的方法去证明这个命题的正确与否。

常见的几何证明方法有反证法、数学归纳法、构造法、非构造性证明、穷举发、换质位法?这几种方法是我们最常用的方法。初高中的几何证明题里几乎的能用这几种方法解决。几何证明是初高中的一个重点，是学好几何的关键，所以掌握几何证明题的证明方法是比不可少的。而几何证明题的方法都是从推理证明和探索规律做起的，怎样培养这个推理证明和探索规律的能力那就是我们平时练习中必须解决的问题。

几何证明有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程。有助于提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。

几何证明题是初高中几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体，到目前为

止还没有其他课程能够代替几何的这种地位。其次几何证明还包括直观、想象、

探究和发现的因素，这些对培养学生的创意也非常有利。所以学好几何证明对于

一个初高中学生来说是非常重要的。本文就对几何证明的关键、要点和学习展开

检索讨论。

二、选择检索工具

由于报告要求，我们将进入西华师范大学图书馆网站

http:///libweb/index.asp的“电子资源”各数据库查找课题相关

文献信息资料，辅助以手工检索和纸本期刊以及因特网上资源。

三、确定检索方法和途径

检索方法：直接法，抽取法和综合法。初定了一些检索词：（几何证明平

面几何空间几何），进行第一轮检索，主要通过

http:///libweb/index.asp，检索出了大批文献，然后进行了筛选，

选择了最新的文献，通过阅读文献有受到启发，增加了一些检索词，他们是：分

析研究应用。经过第二轮检索又查出另外一些相关主题的文献。综合了根

据时间，类目和数据库等的抽取和题目直接的搜索。

主要检索途径：关键字，题名

四、检索结果

1.从中国期刊全文数据库(cnki-cjfd)，维普中文科技期刊数据库(vip)中文全

文数据库中进行全文检索

数据库1：中国期刊全文数据库(cnki-cjfd)年限：2014-2014

检索式：几何证明 分类号:"o*" 标题:"几何证明"+关键词:"几何证明" 日

期:2014-2014

限定类目：理工a（数学物理力学天地生）、教育科学。

检出篇数：188个

题录1：罗江林的 如何学习几何证明来自《课外阅读：中下》 2014年 第

5期

题目2：许琴 的 一类平面几何的求职问题的向量解法来源《新课程.中学》2014年第一期

题目3：丁运来 的 对初中生几何证明题过程书写的教学分析 来源《学生之友.初中版》2014年第一期

题目4：刘延升 的2014年高考平面几何与解析 来源《理科考试研究.高中版》2014年第一期

数据库2 ：万方数据知识平台期刊数据库

年限：2014-2014

限定类别：数学科学和化学文化、科学和教育

检索式：几何证明 分类号:"o*" 标题:"几何证明"+关键词:"几何证明" 日期:2014-2014

检出篇数：31篇

题录1：令标几个几何定理的几何纯几何证明来源《中学数学杂志.初中版》2014.02

题录2：龚洁林平面向量中“心”问题来源《新高考：高三语文数学外语》2014.12

题录3：龚晓兰一个“数学问题”几何证明来源《数学通报》2014.48

（5）

数据库3：calis联合目录公共检索

年份：不限

检索式：题目=“几何证明”

检出篇数：4篇

题录1：高中数学教学参考书.几何证明选讲单墫 冯惠愚南京.江苏教育出版社.2014馆藏：北京师范大学图书馆

题录2：几何证明题与作图题. 赵华, 季家南京.江苏人民出版社1956馆藏：辽宁大学图书馆

数据库4：亚马逊图书

检索：图书题目=“几何证明”

题目1：平面几何分类证明李中正西南师范大学出版社2014年07月出版

题目2：几何定理机器证明的基本原理吴文俊科学出版社1984-08出版

数据库5：万方会议论文库

年份：不限

限定类别：数学科学和化学中的数学

检索式：题目=“几何证明”

检出篇数：29篇

题录1：欧式几何的公理体系和我过平面几何课本的历史演变

作者单位：首都师范大学

会议名称：首都师范大学课程报告论坛

主办单位：高等教育出版社

会议时间：2014年11月5日

题录2：欧拉与数学之美

作者单位：华东交通大学，南昌 330013

会议名称：纪念欧拉诞辰300周年暨《几何原本》中译400周年数学史国际会议

会议时间：2014年10月11日

主办单位：中国数学会,国际数学史委员会,四川师范大学

数据库6：万方外文文献检索

年限：2014-2014

限定类别：数学科学和化学文化、科学和教育

检索式：题目=“geometric proof”

检出篇数：160篇

题录1：a geometric non-existence proof of an extremal additive code

作者：bierbrauer, j. ；marcugini, s. ；pambianco, f.期刊：journal of combinatorial theory. series asci2014,117（2）

题录2：geometric proof of a ramsey-type result for disjoint empty convex polygons i作者：bhaswar b. bhattacharya ；sandip das

期刊：geombinatorics2014,19（4）

五、检索结果的分析与综合。

几何证明题是初高中几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体，到目前为止还没有其他课程能够代替几何的这种地位。其次几何证明还包括直观、想象、探究和发现的因素，这些对培养学生的创意也非常有利。

几何证明在数学学习必不可少的一部分。就拿四川省2014年高考数学理科题来说，几何题在其中占有大的一部分（选择题4道、填空题2道、解答题2道）。而几何证明题占其中的三分之一，即使分值不是很大，但如果你学好了几何证明，那么你的几何题也就迎刃而解。

那么如何才能学好几何证明呢？首先我们来讨论几何证明中遇到的主要困难。困难一几何证明中的逻辑要求非常严格迫使很多学生认为几何很抽象，不白我们究竟要做什么？困难二缺乏基本的逻辑，对一些数学常识性问题都不明白，导致对几何证明的语言表述不准确。怎样克服以上困难就是许多老师和学生所面临的问题。从许多学生的学习经验和老师的教学经验我们可以总结出学习几何证明非常重要的三点。第一，正确掌握几何用语，平时多整理几何定理和公理。第二，掌握几何证明的基本定理和公理的应用，以及一些常见的证明方法。第三，注重几何证明的分析思路的学习，学会一体多证。以及平时多加练习。

对于中学数学来说学习几何主要是要在脑中形成题目中所给出条件的几何图形！至于怎么形成几何图形就要平时多注意这几个方面：第一记住课本中给出的定理和公理，并要自己动手推到下以便加深印象。做到熟记活用。第二平时做题目的时候尽量画出每个几何题目的图形。这样有助于你可以充分运用到题目中的条件，不会出现大的遗漏。虽然这样做题慢，耗时长，但是有助于你将来做大题难题是的一种感觉的形成，就是我们所说的灵感。

如果打到以上几点，那么对于初高中的几何证明题对你来说就已经是小菜一碟了。

以上谈论的是初高中怎样学好几何证明，那么接下来我们探讨一下中外对几何证明的研究。中国对几何证明的研究起源很早，如祖冲之对圆周率的计算、勾股定理的证明?但中国经历封建社会就几乎没有前进。正是那几个世纪外国对几何的证明确实突飞猛进。出现了很多出名的数学家如欧拉、阿基米德、费马笛卡尔 等。最经几十年来中国随着大学教育的普及度于这方面的研究也取得了很大的成果。随着数学家在几何上的不断发展，几何已向原来的欧式空间逐渐发展到其他几个大的几何分支学上。比如，微分几何、内蕴几何、拓扑学等。这些分支学的难度远远大于欧式几何空间。

第三篇：几何证明

龙文教育浦东分校学生个性化教案

学生：钱寒松教师：周亚新时间：2014-11-27

学生评价◇特别满意◇满意◇一般◇不满意

【教材研学】

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果??，那么??”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

所以∠c=∠c’=90°，即△abc是直角三角形．

【点石成金】

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明

对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果??，那么??”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．

例3．如图，在△abd和△ace中，有下列四个等式：① ab=ac；②ad=ae；③ ∠1=∠2；④bd=ce．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题(要求写出已知，求证及证明过程)

解：选①②③作为题设，④作为结论．

已知：如图19—4—103，ab=ac，ad=ae，∠1=∠2．

求证：bd=ce,

证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠cad=∠2+∠cad．

即∠bad=∠cae．

在△bad和△cae中，

ab=ac．∠bad＝∠cae，ad=ae，

∴△bad≌△cae（s．a．s．） ∴bd=ce．

名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．

【练习】

1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，

结论是_________________________

2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()

（2）任何一个定理都有逆定理．()

【升级演练】

一、基础巩固

1．下列语言是命题的是()

a．画两条相等的线段b．等于同一个角的两个角相等吗

c．延长线段ad到c，使oc=oad．两直线平行，内错角相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是()

a．直角都相等b．钝角都小于180。

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2 abdec.cn

c．如果x+y=0，那么x=y=0d．对顶角相等

3．下列说法中，正确的是()

a．一个定理的逆命题是正确的

b．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的

c．任何命题都有逆命题

d．定理、公理都应经过证明后才能用

4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()

a．全等三角形的对应角相等

b．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

c．等边三角形是锐角三角形

d．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

5．证明一个命题是假命题的方法有__________．

6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果??那么?”的形式为___________。

7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

二、探究提高

8．下列说法中，正确的是()

a．每个命题不一定都有逆命题b．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题d．假命题的逆命题未必是假命题

9．下列定理中，没有逆定理的是()

a．内错角相等，两直线平行b．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等d．同位角相等，两直线平行

三、拓展延伸

10．下列命题中的真命题是()

a．锐角大于它的余角b．锐角大于它的补角

c．钝角大于它的补角d．锐角与钝角之和等于平角

11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()

a．0个b．1个c．2个d．3个

22

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第四篇：几何证明(一)

几何证明（一）

例1. 已知：a，b，c三点在同一直线上，△abd和△bce都是等边三角形，ae交bd于m，cd交be于n求证：mn∥ac

c

例2.已知：ad是rt△abc斜边上的高，角平分线be交ad于f，eg⊥bc交bc于g

求证：fg∥ac，ag⊥be

例3. △abc中∠abc=∠acb =80°,点p在ab上，且∠bpc=30°，求证：ap=bc

例4. 从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边。

例5.已知：正方形abcd中，p是ac上的任意点，过点p作pe⊥ab作pf⊥bc。求证：pd⊥ef

例6： △abc内，∠bac=60?，∠acb=40?，p，q分别在边bc,ca上，并且ap,bq分别是∠bac，∠abc的角平分线，求证：bq+aq=ab+bp.

例7：设等腰直角三角形abc中，d是腰ac的中点，e在斜边bc上，且ae⊥bd，求证： ∠bda=∠edc

例8： 设△abe, △acf都是等腰直角三角形，ae,af分别是各自的斜边，g是ef中点，求证：⊿gcb也是等腰直角三角形

例9： 分别以△abc的边ab,ac为边在△abc外侧作等边三角形△abe,△acf，d,m,n分别为bc,ae,af的中点，求证：△dmn为等边三角形。

例10已知：⊙o和⊙q相交于a，b，⊙q经过点o，c是⊙o优弧ab上的一点，cb延长线交⊙q于d，

求证：do⊥ac

d

练习：

1. 四边形abcd中，∠a＝∠b，ad＝bc，则ab∥cd

2. 分别以△abc的边ab和bc为一边，向形外作两个正方形abef和bcgh，求证 ah＝ce，ah⊥ce

3. 已知：d，e，f是△abc边bc，ca，ab的中点，h，g在形外，且he

11⊥ac，he＝ac，gd⊥bc，gd＝bc 22

求证：△f(小编推荐你关注好范文 网www.HAoWoRd.coM)dg≌△heffg⊥fh

第五篇：2014几何证明

2014几何证明

1.（2014年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,在

abc

中,?c?900

,?a?600,ab?20,过c作abc的外接圆的切线cd,bd?cd,bd与外接

圆交于点e,则de的长为_____

_____

2.（2014年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, △abc为圆的内接三角形,

bd为圆的弦, 且bd//ac. 过点a 做圆的切线与db的延长线交于点e, ad与bc交于点f. 若ab =

ac, ae = 6, bd = 5, 则线段cf的长为

______.

3.（2014年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯word版））(几何证明选讲选做题)如图,ab

是圆o的直径,点c在圆o上,延长bc到d使bc?cd,过c作圆o的切线交ad于e.若

ab?6,ed?2,则bc?_________.

e

第15题图

4.（2014年高考四川卷（理））设p1,p2,

,pn为平面?内的n个点,在平面?内的所有点中,若点p到

p1,p2,

,pn点的距离之和最小,则称点p为p1,p2,,pn点的一个“中位点”.例如,线段ab上

的任意点都是端点a,b的中位点.则有下列命题:

①若a,b,c三个点共线,c在线ab上,则c是a,b,c的中位点;[来源:学#科#网] ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点a,b,c,d共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.

其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区)

5.（2014年高考陕西卷（理））b. (几何证明选做题) 如图, 弦ab与cd相交于o内一点e, 过e作

bc的平行线与ad的延长线相交于点p. 已知pd=2da=2, 则pe=_____.

6.

（2014年高考湖南卷（理））如图2,o中,弦ab,cd相交于点

p,pa?pb?

2,pd?1,则圆心o到弦cd的距离为____________.

7.（2014年高考湖北卷（理））如图,圆o上一点c在直线ab上的射影为d,点d在半径oc上的射

影为e.若ab?3ad,则ce

eo

的值为___________. c

a

b

第15题图

8.（2014年高考北京卷（理））如图,ab为圆o的直径,pa为圆o的切线,pb与圆11.修4-1:几何证明选讲]本小题满分10分.

如图,ab和bc分别与圆o相切于点d,c,ac经过圆心o,且bc?2oc o相交于d.若pa=3,pd：db?9：16,则pd=_________;ab=___________.

求证:ac?2ad[来源:学.科.网]

9.选修4—1几何证明选讲:如图,cd为△abc外接圆的切线,ab的延长线交直线cd于点

d,e,f分别为弦ab与弦ac上的点,且bc?ae?dc?af,b,e,f,c四点共圆.

(ⅰ)证明:ca是△abc外接圆的直径;

(ⅱ)若db?be?ea,求过b,e,f,c四点的圆的面积与△abc外接圆面积的比值.

10.选修4-1:几何证明选讲

如图,ab为o直径，直线cd与o相切于e.ad垂直于cd于d，bc垂直于cd于

c，ef,垂直于f,连接ae,be.证明:

(i)?feb??ceb;(ii)ef2?adbc.

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