2021考研数学：高等数学每章知识点汇总精品多篇

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高等数学基础知识 篇一

1、函数、极限与连续

重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。

2、一元函数积分学

重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。

3、一元函数微分学

重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。

4、向量代数与空间解析几何（数一）

主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）)解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。

5、多元函数微分学

重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

6、多元函数积分学

重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。

7、无穷级数（数一、数三）

重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。

8、常微分方程及差分方程

重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。

高等数学考研知识 篇二

一、高等数学考试内容包括：函数、极限、连续

考试要求

1、理解函数的概念

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法、

8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

二、一元函数微分学

考试要求

1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式、了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。

6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

8、会用导数判断函数图形的凹凸性（注:在区间 内，设函数 具有二阶导数。当 时， 的图形是凹的；当 时， 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

9、了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

三、一元函数积分学

考试要求

1、理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4、理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。

5、了解反常积分的概念，会计算反常积分。

6、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

四、向量代数和空间解析几何

考试要求

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

8、了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。

9、了解空间曲线的参数方程和一般方程、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

五、多元函数微分学

考试要求

1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2、了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4、理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。

5、掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

6、了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

7、了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、理解多元函数极值和条件极值的概念，并会解决一些简单的应用问题。

六、多元函数积分学

考试要求

1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

2、掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4、掌握计算两类曲线积分的方法。

5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。

6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。

7、了解散度与旋度的概念，并会计算。

8、会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）。

七、无穷级数

考试要求

1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件。

3、掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4、掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。

6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7、理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8、会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10、掌握麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11、了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。

八、常微分方程

考试要求

1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2、掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3、会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程、

4、会用降阶法解下列形式的微分方程。

5、理解线性微分方程解的性质及解的结构。

6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7、会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

8、会解欧拉方程。

9、会用微分方程解决一些简单的应用问题。

高等数学知识点汇总 篇三

第一章函数与极限

知识点1：函数的概念、函数定义域的求法

知识点2：函数的分类、特殊类型的函数

知识点3：函数的基本性质

知识点4：数列极限的概念与性质

知识点5：函数极限的概念与性质

知识点6：证明极限式与证明极限不存在的方法

知识点7：无穷小与无穷大的概念与关系

知识点8：极限的四则运算法则

知识点9：复合函数的极限运算法则

知识点10：极限存在的两个准则

知识点11：两个重要极限

知识点12：无穷小的比较

知识点13：函数连续性的概念及判断

知识点14：函数间断点的求法及分类

知识点15：闭区间上连续函数的性质

第二章导数与微分

知识点16：导数的概念

知识点17：导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法

知识点18：复合函数的求导

知识点19：反函数的求导

知识点20：隐函数及参数方程的求导

知识点21：微分的概念及运算

知识点22：一元函数微分形式的不变性

知识点23：导数的物理意义

知识点24：按定义求导的题目类型

知识点25：可导、可微与连续三个概念之间的关系

知识点26：奇偶函数与周期函数的导数的性质

知识点27：用求导公式与法则求导数

知识点28：函数的高阶导数

第三章微分中值定理与导数的应用

知识点29：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用

知识点30：柯西中值定理的应用

知识点31：有关中值定理证明题的典型实例

知识点32：洛必达法则求极限

知识点33：求极限的方法总结

知识点34：函数的零点（方程的根）存在性与唯一性的证明

知识点35：函数的零点（方程的根）个数的讨论

知识点36：不等式的证明方法总结

知识点37：泰勒公式的求法

知识点38：泰勒公式的应用

知识点39：函数的单调性及判别

知识点40：函数的极值及判别

知识点41：函数的最值及判别

知识点42：渐近线的分类与求法

知识点43：曲线的凸凹性和拐点

知识点44：曲率、曲率圆及曲率半径（数学一、二）

知识点45：弧微分

知识点46：导数在经济领域的应用（数学三）

第四章不定积分

知识点47：不定积分的概念与性质

知识点48：不定积分的换元积分法

知识点49：不定积分的分部积分法

知识点50：有理函数与三角有理式的不定积分

知识点51：不定积分计算技巧的典型实例

第五章定积分

知识点52：定积分的概念与基本性质

知识点53：变上限的积分及其导数

知识点54：奇偶函数与周期函数的积分性质

知识点55：涉及定积分证明题型的典型实例

知识点56：用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分

知识点57：定积分的换元积分法

知识点58：定积分的分部积分法

知识点59：定积分的特殊计算方法的典型实例

知识点60：无穷限的。反常积分的概念与计算

知识点61：无界函数的反常积分的概念与计算

第六章定积分的应用

知识点62：用定积分求平面图形的面积

知识点63：用定积分求特殊立体的体积

知识点64：用定积分求弧长

知识点65：定积分的物理应用（数一、二）

知识点66：连续函数的平均值（数一、二）

第七章空间解析几何与向量代数

知识点67：空间直角坐标系及相关概念（数一）

知识点68：向量的属性、向量的长度与夹角（数一）

知识点69：向量的各类运算及其运算法则（数一）

知识点70：用向量解决的几何问题（数一）

知识点71：平面的法向量与平面方程（数一）

知识点72：直线的方向向量与直线方程（数一）

知识点73：两个平面间的关系（数一）

知识点74：两条直线间的关系（数一）

知识点75：直线与平面的关系（数一）

知识点76：点到平面的距离的计算（数一）

知识点77：点到直线的距离的计算（数一）

知识点78：旋转曲面（数一）

知识点79：柱面（数一）

知识点80：二次曲面（数一）

知识点81：空间曲线的方程及其在坐标面上的投影（数一）

第八章多元函数微分法及其应用

知识点82：多元函数的概念和几何意义

知识点83：二元函数的极限

知识点84：二元函数的连续性

知识点85：偏导数的概念与常规计算

知识点86：高阶偏导数

知识点87：多元函数可微与全微分

知识点88：连续，可偏导，可微的关系

知识点89：多元复合函数的求导法则

知识点90：多元函数的微分形式不变性

知识点91：多元隐函数的求导

知识点92：多元函数的极值问题

知识点93：条件极值问题、拉格朗日乘数法

知识点94：多元函数的最值问题

知识点95：方向导数（数一、二）

知识点96：数量场的梯度（数一、二）

知识点97：空间曲线的切线与法平面（数一、二）

知识点98：空间曲面的切平面与法线（数一、二）

知识点99：二元函数的二阶泰勒公式（数一）

第九章重积分

知识点100：重积分的概念与性质

知识点101：直角坐标下二重积分的定限与计算

知识点102：极坐标下二重积分的定限与计算

知识点103：直角坐标下三重积分的定限与计算

知识点104：柱面坐标下三重积分的定限与计算

知识点105：球面坐标下三重积分的定限与计算

知识点106：重积分积分次序的交换

知识点107：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性求重积分的技巧

第十章曲线积分与曲面积分

知识点108：第一类曲线积分的概念与计算

知识点109：第二类曲线积分的概念与计算

知识点110：两类曲线积分之间的联系

知识点111：二元函数全微分求积

知识点112：格林公式及其应用

知识点113：曲线积分与路径无关的条件

知识点114：第一类曲面积分的概念与计算

知识点115：第二类曲面积分的概念与计算

知识点116：两类曲面积分之间的联系

知识点117：高斯公式及其应用

知识点118：通量与散度

知识点119：斯托克斯公式及其应用

知识点120：环流量与旋度

知识点121：涉及重积分与曲线曲面积分的证明题总结

第十一章无穷级数

知识点122：级数的概念及性质（数一、三）

知识点123：级数收敛的概念与判别法（数一、三）

知识点124：正项级数的审敛法（数一、三）

知识点125：交错级数、莱布尼兹判别法（数一、三）

知识点126：函数项级数与幂级数的概念（数一、三）

知识点127：函数的幂级数展开（数一、三）

知识点128：阿贝尔判别法（数一、三）

知识点129：幂级数的收敛域（数一、三）

知识点130：幂级数的和函数（数一、三）

知识点131：绝对收敛与条件收敛（数一、三）

知识点132：傅里叶级数的展开式的求法（数一）

知识点133：傅里叶级数的周期延拓（数一）

知识点134：傅里叶级数的奇偶延拓（数一）

第十二章微分方程

知识点135：微分方程的基本概念

知识点136：可分离变量的微分方程

知识点137：齐次微分方程

知识点138：一阶线性微分方程

知识点139：全微分方程

知识点140：伯努利方程

知识点141：用变量替换解微分方程举例

知识点142：含变限积分的方程

知识点143：可降阶的高阶微分方程

知识点144：线性微分方程解的性质和结构

知识点145：二阶常系数齐次线性方程

知识点146：n阶常系数齐次线性方程

知识点147：二阶常系数非齐次线性方程

知识点148：欧拉方程（数学一）

知识点149：差分方程（数学三）

知识点150：微分方程应用题的典型实例

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