如何用线段图帮助解答应用题

如何用线段图帮助解答应用题

将乐县实验小学 张先明

摘要：在解决问题的教学中，经常使用绘制线段的方法来帮助学生解决问题。在线段图的帮助下，可以提示题目中所含的数量关系，并且可以逐步出现线段，以帮助学生掌握数学量关系，解决问题。线段的出现，从静态到动态，从部分到整体引导学生发现问题的关键，建立准确的印象，并找出科学的解决方案。线段图是数形结合的重要数学方法。数量和形状是数学教学研究对象的两个方面。将数量关系与空间形式相结合来分析问题并解决问题是数与形的有效结合。

关键词：线段图；问题解决思路；数学思想

在解决问题的教学中，学生经常使用绘制线段的方法来帮助解决问题。在线段图的帮助下，可以提示问题中的数量关系，并且可以逐渐出现线段，以帮助学生掌握数量关系，并利用线段图解决问题。线段图的出示要从静态到动态，从局部到整体，引导学生研究问题，建立准确的数学形象，并找出科学的解决方法。

一、使用线段图来帮助学生理解问题的含义

在整个解决问题的教学过程中，教师从课堂准备到课堂教学的实施都集中在如何教学，即更注重“如何说”学生能够理解，以及如何创造一种情境，激发学生积极探索，找到适合自己的方法解决问题，即如何教会学生寻找数量关系，提取有效信息，领悟解决问题的要领，学会运用同样的模式来解决问题，也就是数学中的“建模思想”，学生对别的方法没有进一步探索。因此，学生只会以固定的模式下回答“反复出现的问题”，而不会解决“变异问题”。在学习解决问题的过程中，学生有以下不良心理特征：他们渴望学好数学，但他们懒得深思熟虑；他们经常使用他们积累的知识和经验来解决遇到的问题。至于为什么用这个解决方案，并不想考虑它；他们喜欢从问题的外部结构特征中寻求问题的解决方案，但不善于分析问题的本质；学习新内容，他们喜欢按照固定的习惯和方法思考，所以当遇到逆向思维的解决问题就很不习惯，甚至无从下手。他们的思维被模式化，很容易被生活经验和定式思维等单一联系的心理所干扰。

因此，为了提高解决问题的教学效率，首先要改变教师教学中的误区，改变教学思想和教学方法，选择简单有效的教学方法来激发学习兴趣，提高教学效果。根据学生的认知和心理特点，学会解决问题。其次，要克服对学生解决问题的恐惧，让他们不要对解决问题有心理负担，建立学生解决问题的信心并不困难。在行程问题的教学中，经常用绘制线段图的方法来帮助学生解决问题，但是经常遇到线段图画好了学生仍无法入手的问题。因此，如何改变绘图方法并充分利用线段的直观性能是需要我们不断探索的。

（一）在行程问题的教学中，通常在学生阅读题目、分析之后，把题目的意思用线段表示

如：示例1：一列慢速列车以每小时70公里的速度从A地往B地行驶。4小时后，一列快速车以每小时90公里的速度从B地驶向A地，两辆车将在距离B地450公里处相遇。A、B两地相距多少公里？ 。

慢车每小时行70公里　　　　　　　　　　　　 快车每小时行90公里

450公里　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A地　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B地　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

？公里

对于上图，具有较强理解能力的学生可以成功分析并找到正确的解决方法。但对于大多数分析能力差的学生来说，这个图还不够清晰。

1.与每段路段对应的速度和时间并不具体反映在线段图，不便于学生分析和推理。

2.这是一个静态地图，不便于学生将分析过程反映到线段图中。

因此，改进图形，注意所画出来的线段图对理解题意的全部效果，不仅要将问题的“四要素”（方向，时间，位置，结果）显示在线段图上，而且分析和综合推理过程直接反映在图中。让线段图在孩子们从形象思维到抽象思维的过渡中发挥了重要作用。使抽象内容具体，复杂的关系更清晰，利用图形来表达学生内在的思维活动，有力地促进了学生思维的内化，为正确解决问题铺平了道路。

（二）引导学生将文本条件转换为线段，培养学生的数学语言转换能力

1．学生必须仔细全面地逐句阅读。先泛读，然后仔细阅读，最后带着问题阅读。在问题中找到关键字，关键词或关键句子。找出题目中已知的条件和问题。在阅读过程中，让学生提出题目中的条件和问题（使用他们习惯的符号）来指导学生标记关键词，关键词或关键句子。因此，能清楚地弄懂问题中的已知条件是什么，有什么问题，并注意隐含条件是什么，使隐含条件清晰，复杂的数量关系被简化，以及抽象问题是具体化。

2.在学生阅读问题，分析问题，区分已知条件和提出的问题之后，老师要进一步指导学生将文本条件转换为线段图。在这里我们必须抓住两个环节。第一个，要求学生正确显示图片中的“四个要素”。第二是向学生清楚地解释图中所示的每个线段代表不同运动体所走过的路程。由于距离=速度×时间，每个运动体在不同阶段的距离可以是s = vt来表示，具体体现在相应的线段图中。如：。

例2：动车从A地到B地，每小时50公里，1.5小时后，普通列车从B地驶向A地。每小时40公里，经过四个小时后两车相遇，A、B两地相距多少公里？ 。

第一步：阅读问题，分析问题中的“四个要素”，并在在线段图上显示“四个要素”。

动车　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　普通列车　　　　　　　　　　　

A地　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B地　　　

第二步：观察线段图中三部分路程的速度和时间。然后使用s = vt的公式来表示每个线段的距离，并将其写在相应的线段上（如图所示）。

动车　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　普通列车

50×1.5　　　　　　　　50×4 40×4

A地　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B地　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

？公里

第三步：看图解答：50×1.5 +（40 + 50）×4 =（）（km）。

第四步：根据题意再次检查，并作答（略）。

由于主题的多样性，表示路程的公式s = vt的表达式更多地是一组未知数。但无论速度未知还是时间未知，我们都可以使用（）来表示速度。如：。

例3：A地和B地相距340公里，客车和货车分别从A、B两地相向开出。货车每小时行驶40公里。两辆车出了4个小时后，货车停下来卸下。客车继续开车2小时后在货车卸货地点相遇。客车每小时行驶多少公里？ 。

客车　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　货车

（？）×(4+2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　40×4

A地　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B地　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

340公里

每段路程用公式s = vt表示时，其v或t未知数可以由（）表示。用来区分“？”表示的问题。

通过实例2和实例3的图形分析，不难看出用s = vt这个公式来表达每一段路的过程是分析和综合推理过程。因此，降低了学生解决问题的难度。

（三）充分发挥示意图的有效性，培养学生思维的敏捷性

根据上述要求，教学时发现仍有部分学生，特别是那些分析能力较弱的学生。在回答更复杂的行程问题时，还是有很大的困难。原因是复杂的问题要求学生不断分析，综合，再分析，直到问题解决，所以难度很高。在这方面，有必要充分利用线段图的有效性，并且重新分析和重新整合推理过程反映在示意图中，也就是问题所需的各种条件。首先分析间接条件并将其转换为清晰直观的条件，并将它们作为已知条件填充到示意图中。这有助于学生克服条件太多，无法理顺思路的困难，进而做出新的推理判断。这样就发挥了线段图化难为易桥梁的作用。

示例4 :(参见前面的示例1）。

慢车　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　快车

70×4　　　　　　70×（5）　 90×（5）＝450千米

A地　　　　　　　　　　　　　　　　　　B地　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

？公里

根据示意图分析，确定应如何列出每个步骤。最后，逐步或全面列出，步骤如下：

步骤一、根据线段图的意思，全程有多少公里，应该先求出线段图中的（ ）。

步骤二、图中的两个（ ）是什么意思？（时间），怎么求图中的（）？。

（450÷9 = 5小时）。

步骤三、在图中括号内填写计算的结果：5小时。

步骤四、再次分析线段图，看看全部路要怎么求？

70×4 + 70×5 + 450 = 1080（km）。

或70×（4 + 5）+ 450 = 1080公里。

这种边画图边分析、边计算，再画图的方法同样适用于其他复杂的解决问题。一些比较复杂的综合问题也要根据问题的需要，也要先计算出一些不明显的条件，然后再分析，逐步使问题的明朗化，直到问题得到解决。这样才能使学生更好地理解题目的意思，针对不同类型的主题，设计相应的图表，或者看图片来描述题目的意义，这样就能提高学生看图、理解图的能力。

二、绘制线段图

（一）绘制线段图的重要性。

解决问题的教学中如果要用上线段图的，许多教师是自己画，边画边讲解。学生很少被要求画图，这种方法是不可取的。事实上，让学生绘制线段图，对于学生理解解决问题的相关因素有很大帮助。借助线段图，抽象语言可以转换为具体，直观和形像的图形。小学生年龄不大，理解力有限，社会经验少，理解问题的意义有很大困难。教师引导学生以线段图的形式表示主题中的数量关系，这可以使题意更直观，更具体。在线段图的帮助下，他们可以克服困难和找到准确的解题思路。有些问题，数量关系比较复杂，学生很难梳理，用线段图可以准确找到数量之间的对应关系，很容易找到解决问题所需的条件。借助线段，可以简化题目，可以发展学生的思维。有大量的条件，学生的数量关系更加混乱，学生们感到困惑。通过绘制线段图，可以帮助学生理清数量关系。借助线段图，知识可以转化为一种能力。线段图不仅使学生解决了难以解决的问题，学生还通过画线段图开发各种能力。例如，还可以根据线图对学生进行多种能力的培养，如构图能力，逻辑思维能力、语言表达能力的培养。画线段图，也可以培养学生的审美观念和艺术能力。

（二）学习绘制线段的时机。

我认为绘画的能力应该从简单的问题开始，从中低年级开始。有些人认为使用线段图来帮助解决问题是高年级的事情，是在解决复杂的问题中才使用的方法。中低年段和简单的应用题不需要绘制线段。有些学生也错误地认为简单的问题，没有绘画，可以理解问题的意义，我们为什么要画线段图。这种理解是不对的。从小基础不牢，到较高年级遇到困难的应用问题，需要画线段帮助解决问题，这时就容易出错，解决问题的能力会大打折扣。”。

（三）绘制线段图的方法。

首先，我们必须仔细阅读问题并充分理解问题的含义。绘制的图片应与问题中的条件一致。其次，图中线段的长度应与题目中的数值基本相符。不要将长线段标记为小线段和短线段。尝试绘制精美，合理的图片，以便更准确，更清晰地看懂它，对解决问题要有帮助。最后，应根据问题的呈现顺序在线段图上标明条件。对于两线平行图和多线并联图，有必要区分顺序，找出数量之间的对应关系，并说明问题，这是分析题解决问题的重点。使用线段图解决行程问题，工程问题和一些复杂应用问题时，可以找到一些规则。例如，行程问题：行程问题包括三个量：距离，速度和时间。此时，根据问题的含义，有三种绘图思路：第一种是根据路程画线段图，一般只要画一条线段。第二种是根据速度绘制线段图，通常绘制1——2条线段。第三种是根据时间画图，通常绘画一条线段。每种类型的画图方法不单独反应某个内容，而是对应于其他内容，并根据公式进行解答。许多学生会考虑使用线段来帮助他们解决行程问题。但是，遇到其他类型的问题时，很少应用线段。实际上，可以将线段迁移到其他类型的问题，以帮助分析问题的含义。线段的可视化，简单化和清晰化可以提高学生解决问题的能力，增强他们分析和判断问题的能力。

三、充分利用线段图教学进行数学思想的渗透

我们知道线段图是数形结合的重要数学方法。数量和形状是数学教学研究对象的两个方面。结合数量关系和空间形式来分析和解决问题是数字和形状的结合。“数形结合”可以通过简单的符号，符号和文字、图片促进学生形象思维和抽象思维的协调发展。[1]传达数学知识之间的联系，突出复杂数量关系中最本质的特征。线段图的使用有助于学生轻松愉快地分析和解决复杂的应用问题。它不仅培养了学生的分析能力，而且促进了学生思维的发展。它是一种有效的教学方法。转变思想是数学的基本思想之一，在小学数学教学中，要结合具体的教学内容，渗透数学转化的思想，自觉培养学生运用“转化”思想解决问题，提高数学能力。一些解决问题，根据原问题的条件，数量关系解决起来比较复杂，如果基于知识之间的内在关系，改变一种思考方式，在视觉转换问题中正确运用数量关系，改变原始问题成为另一个易于解决的问题，打开解决问题的思路，顺利解决问题。例如：条件转换，单位“1”转换，得分问题转换和比例应用问题等等。在运用绘图策略解决问题的过程中，除了渗透上述数学思维方法外，还可以及时渗透假设思维方法，比较思维方法，分类思维方法，类比思维方法，等等。在教学中渗透和运用这些教学思想和方法，不仅可以提高学习兴趣，调动学生的主动性，还可以培养学生思维和数学智能的灵活性，有助于提高学生的数学素养。[2]

学生是学习的主体，主体性是素质教育的生命灵魂。如何发挥学生在课堂教学中的主体作用，促进学生主动学习，使他们成为学习的主人？应该允许学生多练习、多思考。不仅可以帮助教师理解学生的困惑，提高教学的针对性，防止学生受到教师的思想的约束，要让学生积极地分析问题，解决问题，培养数学能力。在学生阅读问题后，让学生思考条件和条件之间的关系，条件与问题的关系。从问题开始思考，或从条件思考，或从问题中的关键词，单词和句子思考，分析量化关系，确定先计算什么，然后计算什么。让孩子把自己的想法用数学语言表达出来，从而增强了学生思维的深刻性。教师还从学生的语言表达中了解学生对知识的掌握程度。

简而言之，解决问题包括条件，问题和具体情况，以及直接或间接表达数量关系的词语。因此，线段图能让题目的主要元素，条件，问题和数量关系充分地体现出来，学生再巧妙地分析，综合等，解题的基本方法就能成形。通过画线段图能培养学生的思维和智力技能，提高他们应用知识的能力。

参考文献：

[1]伍丽霞.《运用数形结合提升学生思维能力》[J].《中国教师》，2016

[2]王艳娜于吉勇.《浅析利用画图策略培养学生解决数学问题的能力》[J].《教学管理与教育研究》，2018年第3期